R = Rₓ(γ) · Rᵧ(β) · Rᶻ(α)
按 Z → Y → X 绕世界固定轴执行，矩阵从右向左作用于列向量。
3D VISUALIZATION
世界坐标系 W / 车体坐标系 B
R = Rₓ(γ) · Rᵧ(β) · Rᶻ(α)
WORLD SPACE METERS · RIGHT HANDED
世界坐标 W 车体坐标 B 目标点 P
DRAG TO ORBIT · SCROLL TO ZOOM
ROTATION TRACE中间姿态Z → Y → X
Quaternion · wxyz[0.906, 0.298, -0.258, 0.155]
车体原点 tWB[1.500, -0.800, 1.100]ᵀ
点坐标 PW[2.054, -0.406, 2.700]ᵀ
点坐标 PB[1.400, 0.800, 0.650]ᵀ
01
旋转语义
同样的角度，语义不同则结果不同
外旋依次绕世界坐标系的固定轴旋转，后续旋转轴不会随物体改变。
R = Rₓ(γ) · Rᵧ(β) · Rᶻ(α)
02DEG
欧拉角
α、β、γ 对应顺序中的第一、二、三轴
α → Z β → Y γ → X
03
平移向量
B 系原点在 W 系中的位置
04
移点 / 换系
主动变换改变点，被动变换改变描述
pW = R · pB + t
点随刚体一起旋转和平移，物理位置发生改变。
HOMOGENEOUS TRANSFORMATION
SE(3) 齐次变换矩阵
TWB = [ R | t ]
4 × 4
齐次变换同时描述旋转与平移，右乘列向量 [x, y, z, 1]ᵀ。
UNIT QUATERNION
wxyz单位四元数
Hamilton 约定 · q = w + xi + yj + zk
q 与 −q 表示同一个旋转；此处固定选择 w ≥ 0，避免数值展示来回跳变。
MATH UNDER THE HOOD
EXTRINSIC · ZYX变换公式
当前旋转语义、刚体变换与四元数的对应关系
pW = RWB pB + tWB
pB = (RWB)T(pW − tWB)
第一式是主动移点 B → W；第二式保持物理点不动，只把坐标描述换为 B 系。
TWB = [ R t; 0ᵀ 1 ]
(TWB)⁻¹ = [ Rᵀ −Rᵀt; 0ᵀ 1 ]
逆变换同时反转旋转和经过旋转补偿后的平移。
基本轴旋转矩阵
c = cos θ · s = sin θ
RX(θ) = 1 0 0
0 c −s
0 s c
0 c −s
0 s c
RY(θ) = c 0 s
0 1 0
−s 0 c
0 1 0
−s 0 c
RZ(θ) = c −s 0
s c 0
0 0 1
s c 0
0 0 1
四元数
q = [w, v] = [cos(θ/2), u sin(θ/2)] ‖q‖ = 1，q ≡ −q
q = [0.906, 0.298, -0.258, 0.155]EXPLORE MORE